Konverter alle komplekse tal til trigonometrisk form og forenkle udtrykket? Skriv svaret i standardformular.

Svar:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Forklaring:

I et andet svar på dette spørgsmål gættede jeg, at der var en skrivefelt i dette spørgsmål og det #-3# skulle være # -Sqrt {3} #. Jeg er blevet forsikret i en kommentar, at det ikke er tilfældet, at spørgsmålet er korrekt som skrevet.

Jeg vil ikke gentage, hvordan vi bestemt

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} tekst {cis} 45 ^ cirk #

# sqrt {3} + i = 2 tekst {cis} 30 ^ cirkel #

Men nu skal vi konvertere # -3 + i # til trigonometrisk form. Vi kan gøre det, men da det ikke er en af Trigs foretrukne trekanter, er det lidt mere akavet.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Vi er i den anden kvadrant, og den primære værdi af den inverse tangent er den fjerde kvadrant.

# angle (-3 + i) = tekst {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ cirk #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (tekst {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ cirk)

De Moivre virker ikke rigtig godt på en sådan form, får vi

# {-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} tekst {cis} (3 {tekst} Arc} tekst {tan} (1 / {-3)) + 180 ^ cirk)) #

Men vi er ikke fast. Da eksponenten kun er #3# det kan vi gøre med triple angle formler. Lad os kalde den konstante vinkel, vi fandt

#theta = vinkel (-3 + i) #

Af De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = { sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Vi ved

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quadsyntheta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

# 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Det virker som meget mere arbejde end bare cubing # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, lad os gøre problemet:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# {{2 sqrt {2} tekst {cis} 45 ^ cirk) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {{2 tekst {cis} 30 ^ cirk) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ cirk)} / { tekst {cis} 3 + i) ^ 3 #

# = {sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ cirk)} / { tekst {cis} (300 ^ cirk)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) tekst {cis} (225 ^ cirk - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) tekst {cis} (- 75 ^ cirk) #

Ugh, det slutter aldrig. Vi får

#cos (-75 ^ cirk) = cos 75 ^ cirk = cos (45 ^ cirk + 30 ^ cirk) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ cirk) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #