Lad f (x) = x-1. 1) Kontroller, at f (x) hverken er lige eller ulige. 2) Kan f (x) skrives som summen af en jævn funktion og en ulige funktion? a) Hvis det er tilfældet, udvis en løsning. Er der flere løsninger? b) Hvis ikke, bevise at det er umuligt.

Lade #f (x) = | x -1 | #.

Hvis f var lige, så #F (-x) # ville være lige #F (x) # for alle x.

Hvis f var mærkeligt, så #F (-x) # ville være lige # -F (x) # for alle x.

Overhold det for x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Da 0 ikke er lig med 2 eller til -2, er f hverken lige eller ulige.

Kan f skrives som #g (x) + h (x) #, hvor g er lige og h er mærkeligt?

Hvis det var sandt da #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Ring til denne erklæring 1.

Udskift x ved -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Da g er lige og h er mærkeligt, har vi:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Ring til denne erklæring 2.

At sætte udsagn 1 og 2 sammen ser vi det

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

TILFØJ DETTE for at opnå

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Dette er faktisk lige siden #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Fra sætning 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Dette er virkelig mærkeligt, siden

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.