Hvordan verificerer du den følgende identitet?

Svar:

Brug et par trig identiteter og meget forenkling. Se nedenunder.

Forklaring:

Når man beskæftiger sig med ting som # Cos3x #, det hjælper med at forenkle den til trigonometriske funktioner i en enhed #x#; dvs. noget lignende # Cosx # eller # cos ^ 3x #. Vi kan bruge sumregel for cosinus til at opnå dette:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Så siden # Cos3x = cos (2x + x) #, vi har:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Nu kan vi erstatte # Cos3x # med ovenstående udtryk:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Vi kan opdele denne større brøkdel op i to mindre brøker:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Bemærk hvordan cosinuserne annullerer:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) annullere (cosx)) / annullere (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Tilføj nu en # Synd ^ 2x-sin ^ 2x # ind i ligningens venstre side (hvilket er det samme som at tilføje #0#). Ræsonnementet bag dette vil blive klart om et minut:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Omarrangere vilkår:

# cos ^ 2x + sin ^ 2X (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Brug den pythagoranske identitet # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # og kombinere # Synd ^ 2x #s i parenteserne:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Du kan se, at vores lille trick at tilføje # Synd ^ 2x-sin ^ 2x # har tilladt os at bruge den pythagoranske identitet og indsamle # Synd ^ 2x # betingelser.

Og voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Quod erat demonstrandum