To hjørner af en enslig trekant er ved (8, 3) og (5, 4). Hvis trekantens areal er 4, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

Sidens længde er #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # og pointene er # (8,3), (5,4) og (6,1) #

Forklaring:

Lad punkterne i trekanten være # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3). #

Triangelområde er A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

Givet # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

Ved at erstatte har vi nedenstående Areal ligning:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3-3) + x_3 (3-4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3-3) + x_3 (3-4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> ligning 1

Afstand mellem point #(8,3), (5,4)# ved hjælp af afstand formel er

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Afstand mellem point # (x_3, y_3), (5,4) # ved hjælp af afstand formel er

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Squaring begge sider og subsituting # x_3 = 9 - 3y_3 # fra ligning 1 får vi en kvadratisk ligning.

# (9-3y_3-5) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3-4) ^ 2 = 0 #

Faktoriserende dette får vi # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 eller y = 2,2. y = 2.2 kan kasseres. Derfor skal det tredje punkt være (6,1).

Ved beregning af afstande for punkter # (8,3), (5,4) og (6,1) #, vi får # sqrt 8 # for længden af basen.