Resten, når x ^ (2011) er divideret med x ^ 2 -3x + 2 er?

Svar:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011-2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Forklaring:

En semi-nem måde at se dette på er at begynde at dividere udtrykket ved hjælp af Long Division. Skriv udbyttet (under divisionssymbolet) med nul som

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Vi har ikke brug for alle betingelserne for at bemærke mønsteret.

Når du begynder at dividere, vil du observere, at den første term har en koefficient på 1, den anden har en koefficient på 3, den tredje har en koefficient på 7, derefter 15, derefter 31 osv.

Disse tal har formularen # 2 ^ m - 1 #.

Resten vil dukke op efter at du har opdelt i det hele, der består af # 2011 ^ (th) # og # 2012 ^ (th) # betingelser.

Den første term i kvoten vil følge det samme mønster med #2^2011-1# som dens koefficient. Den sidste koefficient er en mindre end #2^2011-1# -- det er #2^2011 - 2#, eller #2(2^2010 - 1)#.

Det samme mønster gælder for hver fordeling af formularen

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, hvor #m> = 3 #.

Det kan du også bemærke # x ^ 2011 - 1 # er et flertal af #x - 1 #, som ville annullere en faktor i nævneren.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

hvor #Q (x) # er en #2009# grad polynomial og # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Nu ved vi det

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Løsning for # A, b # vi får

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # og så

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # som er resten.