Hvad er formlen for at finde området for en regelmæssig dodecagon?

Svar:

#S _ ("normal dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

Forklaring:

Tænker på en regelmæssig dodecagon indskrevet i en cirkel, kan vi se, at den er dannet af 12 ensidige trekanter, hvis sider er cirkelens radius, cirkelens radius og dodekagonens side; i hver af disse trekanter er vinklen imod dodecagonens side lig med #360^@/12=30^@#; området for hver af disse trekanter er # ("Side" * "højde) / 2 #, vi skal kun bestemme højden vinkelret på dodecagonens side for at løse problemet.

I den ovennævnte ligeværdige trekant, hvis basis er dodecagonens side, og hvis lige sider er cirkelens radius, hvis vinkel er i modsætning til basen (# Alfa #) er lig med #30^@#, der er kun en linje trukket fra vertexet, hvor cirkelens radii mødes (punkt C) der afviger vinkelret på dodecagonens side: denne linje bisecter vinklen # Alfa # samt definerer trekantens højde mellem punktet C og det punkt, hvor basen er opsnappet (punkt M), samt deler basen i to lige store dele (alt sammen fordi de to mindre trekanter, der dannes på denne måde, er kongruenter).

Da de to mindre trekanter, der er nævnt, er de rigtige, kan vi bestemme højden på den ensidige trekant på denne måde:

#tan (alfa / 2) = "imod kateter" / "tilstødende katetus" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "højde" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Så har vi

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (trekant) = 12 * ("side") ("højde")) / 2 = 6 * ("side") ("side") / (2 * tan 15 ^) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("side") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #