Hvordan finder du grænsen for [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] som x nærmer sig 0?

Svar:

Udfør nogle konjugerede multiplikationer og forenkle at få #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Forklaring:

Direkte substitution producerer ubestemt form #0/0#, så vi bliver nødt til at prøve noget andet.

Prøv at multiplicere # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # ved # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Denne teknik er kendt som konjugat multiplikation, og det virker næsten hver gang. Ideen er at bruge forskellen på kvadrater ejendom # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # at forenkle enten tælleren eller nævneren (i dette tilfælde nævneren).

Husk det # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, eller # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Vi kan derfor erstatte nævneren, hvilket er # 1-cos ^ 2x #, med # Synd ^ 2x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Nu # Synd ^ 2x # annullerer:

# ((Sinx) (annullere (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (annullere (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Afslut ved at tage grænsen for dette udtryk:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#