Vand lækker ud af en inverteret konisk tank med en hastighed på 10.000 cm3 / min samtidig med at vandet pumpes i tanken med konstant hastighed Hvis tanken har en højde på 6m og diameteren øverst er 4m og hvis vandstanden stiger med en hastighed på 20 cm / min, når vandets højde er 2m, hvordan finder du den hastighed, hvormed vandet pumpes i tanken?

Lade # V # være vandmængden i tanken, i # Cm ^ 3 #; lade # H # Vær dybden / højden af vandet, i cm; og lad # R # være radius af overflade af vandet (ovenpå), i cm. Da tanken er en inverteret kegle, er det også vandets masse. Da tanken har en højde på 6 m og en radius på toppen af 2 m, betyder lignende trekanter det # Frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # så det # H = 3r #.

Volumenet af den omvendte kegle vand er da # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Differentier nu begge sider med hensyn til tid # T # (i minutter) for at få # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (kædelegemet anvendes i dette trin).

Hvis #V_ {i} # er mængden af vand, der er blevet pumpet ind, da # frac {dV} {dt} = frac {dV_ -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (når vandets højde / dybde er 2 meter, er vandets radius # Frac {200} {3} # cm).

Derfor # frac {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 ca. 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.