Svar:
Gør meget algebra efter at have anvendt grænseværdien for at finde ud af, at hældningen på # X = 3 # er #13#.
Forklaring:
Begrænsningsdefinitionen for derivatet er:
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Hvis vi vurderer denne grænse for # 3x ^ 2-5x + 2 #, vi får et udtryk for afledte af denne funktion. Derivatet er simpelthen hældningen af tangentlinjen på et punkt; så evaluering af derivatet på # X = 3 # vil give os hældningen af tangentlinjen på # X = 3 #.
Med det sagt, lad os komme i gang:
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (annullere (3x ^ 2) + 6HX + 3h ^ 2-annullere (5x) -5H + annullere (2) -cancel (3x ^ 2) + annullere (5x) -cancel (2)) / h #
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (6HX + 3h ^ 2-5h) / h #
#F '(x) = lim_ (h-> 0) (annullere (h) (6x + 3h-5)) / annullere (h) #
#F '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Evaluering af denne grænse på # H = 0 #, #F '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Nu hvor vi har derivatet, skal vi bare plugge ind # X = 3 # for at finde hældningen af tangentlinjen der:
#F '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Svar:
Se nedenstående forklaring, hvis din lærer / lærebog bruger #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Forklaring:
Nogle præsentationer af calculus brug, til definitionen af hældningen af linjen tangent til grafen af #F (x) # på det punkt hvor # x = en # er #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # forudsat at grænsen eksisterer.
(For eksempel James Stewarts 8. udgave Calculus s. 106. På side 107 giver han tilsvarende #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Med denne definition er hældningen af tangentlinjen til grafen af #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # på det punkt hvor # X = 3 # er
(xr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Bemærk at denne grænse har ubestemt form #0/0# fordi #3# er et nul i polynomet i tælleren.
Siden #3# er et nul, vi ved det # x-3 # er en faktor. Så vi kan faktorere, reducere og forsøge at evaluere igen.
# = lim_ (xrarr3) (Annuller ((x-3)) (3x + 4)) / Annuller ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Grænsen er #13#, så hældningen af tangentlinjen på # X = 3 # er #13#.
