To hjørner af en trekant har vinkler på (3 pi) / 8 og pi / 6. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 1, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Svar:

Den længste mulige omkreds er ca. #4.8307#.

Forklaring:

For det første finder vi den ene tilbageværende vinkel, idet vi bruger en trekants vinkler til # Pi #:

Til #triangle ABC #:

Lade #angle A = (3pi) / 8 #

Lade #angle B = pi / 6 #

Derefter

#vinkel C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#farve (hvid) (vinkel C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#farve (hvid) (vinkel C) = (11pi) / 24 #

For enhver trekant er den korteste side altid modsat den mindste vinkel. (Det samme gælder for længste og største vinkel.)

For at maksimere omkredsen skal den ene kendte sidelængde være den mindste. Så siden #angle B # er den mindste (at # Pi / 6 #), satte vi # B = 1 #.

Nu kan vi bruge sinusloven til at beregne de resterende to sider:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b gange (sinA) / (sinB) #

#COLOR (hvid) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (white) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

En lignende formel bruges til at vise # c ~~ 1.9829 #.

Tilføjelse af disse tre værdier (af #en#, # B #, og # C #) sammen giver den længste mulige perimeter for en trekant som den beskrevne:

# P = "" a "" + b + "" c #

#COLOR (hvid) P ~~ 1,8478 + 1 + 1,9829 #

#COLOR (hvid) P = 4,8307 #

(Da dette er et geometrisk spørgsmål, kan du blive bedt om at give svaret i nøjagtig form med radikaler. Dette er muligt, men lidt kedeligt for et svars skyld her, og derfor har jeg givet mit svar som en omtrentlig decimalværdi.)

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 12, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Længst mulig perimeter er 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Da to vinkler er (2pi) / 3 og pi / 4, er tredje vinkel pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. For længste omkreds side af længde 12, sig en, skal være modsat mindste vinkel pi / 12 og derefter bruge sinusformel vil andre to sider være 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin (2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Derfor er b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 og c = 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Således længst mulig omkreds er 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941.

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 4, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

P_max = 28.31 enheder Problemet giver dig to ud af de tre vinkler i en vilkårlig trekant. Da summen af vinklerne i en trekant skal tilføje op til 180 grader eller pi radianer, kan vi finde den tredje vinkel: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Lad os tegne trekanten: Problemet angiver, at en af siderne af trekanten har en længde på 4, men det angiver ikke hvilken side. Men i en given trekant er det sandt, at den mindste side er modsat fra den mindste vinkel. Hvis vi ønsker at maksimere omkredsen, skal vi gøre siden med l&#

To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 19, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Langest mulige perimeterfarve (grøn) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Tre vinkler er (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 som de tre vinkler tilføjer op til pi ^ For at få den længste omkreds, side 19 skal svare til den mindste vinkel pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Langest mulige perimeterfarve (grøn) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842 )