To hjørner af en trekant har vinkler på (2 pi) / 3 og (pi) / 4. Hvis den ene side af trekanten har en længde på 4, hvad er den længste mulige omkreds af trekanten?

Svar:

# P_max = 28.31 # enheder

Forklaring:

Problemet giver dig to ud af de tre vinkler i en vilkårlig trekant. Da summen af vinklerne i en trekant skal tilføje op til 180 grader, eller # Pi # radianer, kan vi finde den tredje vinkel:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI- (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Lad os tegne trekanten:

Problemet siger, at en af siderne af trekanten har en længde på 4, men det angiver ikke hvilken side. Men i en given trekant er det sandt, at mindste siden vil være modsat fra den mindste vinkel.

Hvis vi ønsker at maksimere omkredsen, skal vi gøre siden med længde 4 den modsatte side fra den mindste vinkel. Da de to andre sider bliver større end 4, garanterer vi, at vi maksimerer omkredsen. Derfor bliver udkant trekant:

Endelig kan vi bruge sines lov at finde længderne af de to andre sider:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Plugging ind, får vi:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Løsning for x og y får vi:

# x = 10,93 # og # Y = 13,38 #

Derfor er den maksimale omkreds:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Bemærk: Da problemet ikke angiver længdeenhederne på trekanten, skal du blot bruge "enheder".