Svar:
Ligning af parabola er # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Forklaring:
Som symmetriakse er # x + y + 1 = 0 # og fokus ligger på det, hvis fokus er abscisse # P #, ordinat er # - (p + 1) # og koordinater for fokus er # (P, - (p + 1)) #.
Endvidere vil directrix være vinkelret på symmetriaksen, og dens ligning vil være af formen # x-y + k = 0 #
Da hvert punkt på parabolen er lige fra fokus og directrix, vil dens ligning være
# (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Denne parabola passerer igennem #(0,0)# og #(0,1)# og dermed
# P ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) og
# P ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Subtraherer (1) fra (2) får vi
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, hvilket giver # K = -2p-5/2 #
Dette reducerer ligning af parabola til # (X-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
og som det går igennem #(0,0)#, vi får
# P ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # eller # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
dvs. # 6p = -17/4 # og # P = -17/24 #
og dermed # K = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
og ligning af parabola som
# (X + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # og multiplicere med #576=24^2#, vi får
eller # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
eller # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
eller # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
eller # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
graf {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11,42, 8,58, -2,48, 7,52}
