Hvad er overfladen af det faste stof skabt af revolverende f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x i [1,3] omkring x-akse?

Svar:

Bestem skiltet, og integrér derefter efter dele. Området er:

# A = 39,6345 #

Forklaring:

Du skal vide om #F (x) # er negativ eller positiv i #1,3#. Derfor:

# Xe ^ -x-XE ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

For at bestemme et tegn, vil den anden faktor være positiv, når:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Siden # E ^ x> 0 # for nogen #x i (-oo, + oo) # uligheden ændrer sig ikke:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#X <0 #

Så funktionen er kun positiv, når x er negativ og omvendt. Da der også er en #x# faktor i #F (x) #

#F (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Når en faktor er positiv, er den anden negativ, så f (x) er altid negativ. Derfor er området:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ XdX #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x)) dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) 'dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3-2 / e + 2e ^ 3 #

Brug af regnemaskine:

# A = 39,6345 #

Svar:

Areal = 11,336,8 kvadrat enheder

Forklaring:

den givne #f (x) = xe ^ -x-xe ^ x #

for enkelhed lad #F (x) = y #

og # y = xe ^ -x-xe ^ x #

det første derivat # Y '# er nødvendig i beregningen af overfladearealet.

Areal # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

hvor # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Areal # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Bestem det første derivat # Y '#:

differentiere # y = x (e ^ -x - e ^ x) # ved anvendelse af derivatet af produkt formel

# x '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x-x * e ^ x #

efter forenkling og factoring er resultatet

det første derivat # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Beregn nu området:

Område = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Areal # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Areal

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

For komplicerede integraler som dette kan vi bruge Simpsons regel:

så det

Areal

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Område = -11.336.804

dette indebærer omdrejningsretningen, så der kan være negativt overfladeareal eller positivt overfladeareal. Lad os bare overveje den positive værdi Areal = 11336.804 kvadrat enheder