To hjørner af en enslig trekant er ved (1, 3) og (9, 4). Hvis trekantens areal er 64, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

Længderne af trekants sider er:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Forklaring:

Afstanden mellem to punkter # (x_1, y_1) # og # (x_2, y_2) # er givet ved afstand formel:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Så afstanden mellem # (x_1, y_1) = (1, 3) # og # (x_2, y_2) = (9, 4) # er:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

hvilket er et irrationelt tal lidt større end #8#.

Hvis en af de andre sider af trekanten var ens længde, ville det maksimale mulige område af trekanten være:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Så det kan ikke være tilfældet. I stedet skal de to andre sider have samme længde.

Givet en trekant med sider # a = sqrt (65), b = t, c = t #, vi kan bruge Herons formel til at finde sit område.

Herons formel fortæller os, at arealet af en trekant med sider #a, b, c # og semi perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # er givet af:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

I vores tilfælde er semi perimeteren:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

og Herons formel fortæller os, at:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (kvadrat (65) / 2) (sqrt (65) / 2)

#color (hvid) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiplicer begge ender med #2# at få:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Square begge sider for at få:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiplicer begge sider af #4/65# at få:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponere og tilføj #65/4# til begge sider for at få:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Tag den positive kvadratrode af begge sider for at få:

#t = sqrt (266369/260) #

Så længderne af trekantens sider er:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternativ metode

I stedet for at bruge Herons formel kan vi begrunde følgende:

I betragtning af at bunden af den ensomme trekant er af længde:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Området er # 64 = 1/2 "base" xx "højde" #

Så højden af trekanten er:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Dette er længden af den vinkelrette bisektor af trekanten, som passerer gennem midterpunktet af basen.

Så de to andre sider udgør hypotenussen af to retvinklede trekanter med ben #sqrt (65) / 2 # og # (128sqrt (65)) / 65 #

Så ved Pythagoras er hver af disse sider af længde:

#sqrt (sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #