Finding (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) synd ((A + B) / 2) ved hjælp af Additionsformler?

Svar:

Det er rigtigt, bortset fra (ii) er omvendt. #tan (A + B) # burde være #4/3# som #sin (A + B) = 4/5 # og #cos (A + B) = 3/5 #.

Forklaring:

Sjovt. Givet #cos (A + B) = 3/5 quad og quad cos En cos B = 7/10 #

Lad os gennemgå de relevante identiteter.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin En synd B #

#sin En synd B = cos A cos B-koder (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # valg (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#EN# og # B # er akutte, # A + B <180 ^ circ # så en positiv sinus:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = synd (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # INTET AF DET OVENSTÅENDE

En dobbelt vinkel formel er #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # så

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))}

Gennemsnittet af #EN# og # B # er akut, så vi vælger det positive tegn.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # valg (iii)

En af tre forkerte, B-.

Svar:

Venligst henvis til Forklaring Sektion.

Forklaring:

I betragtning af det #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (SinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

derfor # TanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (I) #.

I betragtning af at # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Tilføjelse, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) i Q_1uuQ_2 #.

Men, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) i Q_1 #.

Nu, # Sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. synd (A + B) = + - 4/5; "men fordi" (A + B) i Q_1, #

# synd (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (Ii) #.

Endelig at finde #sin ((A + B) / 2), "lad" (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Nu," cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … fordi "Addition Formula" "#

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, dvs. #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2eta = 3/5, eller #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Siden, # (A + B) = 2-theta # ligger i # Q_1, "det gør også" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.