Svar:
Under
Forklaring:
For at vise, at uligheden er sand, bruger du matematisk induktion
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # til #n> 1 #
Trin 1: Bevis for # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Siden # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, derefter #LHS> RHS #. Derfor er det sandt for # N = 2 #
Trin 2: Antag sandt for # N = k # hvor k er et helt tal og # k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
Trin 3: Hvornår # N = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
dvs. # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # fra (1) ved antagelse
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Siden #K> 1 #, derefter # -1 / sqrt (k + 1) <0 # og siden # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, derefter # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # så # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
Trin 4: Ved bevis på matematisk induktion er denne ulighed sand for alle heltal # N # bedre end #1#
Ujævnelsen som angivet er falsk.
Fx for #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (ca. 2,3) annullere (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _
En modsigelse.
