Hvad er det mindste heltal n sådan, at n! = m cdot 10 ^ (2016)

Svar:

# N = 8075 #

Forklaring:

Lade #v_p (k) # være mangfoldigheden af # P # som en faktor af # K #. Det er, #v_p (k) # er det største heltal sådan # P ^ (v_p (k)) | k #.

Observationer:

• For nogen # k i ZZ ^ + # og # P # prime, vi har #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Dette kan let bevises ved induktion)

• For et helt tal # k> 1 #, vi har # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Dette er intuitivt, som magtmængder af #2# forekommer hyppigere end multipler med tilsvarende beføjelser #5#, og kan bevises strengt ved hjælp af et lignende argument)

• Til #j, k i ZZ ^ + #, vi har #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # for enhver primær divisor # P # af # J #.

Fremgang, vores mål er at finde det mindste heltal # N # sådan at # 10 ^ 2016 |! N #. Som # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, så ved den tredje observation, behøver vi kun at bekræfte det # 2016 <= v_2 (n!) # og # 2016 <= v_5 (n!) #. Den anden observation betyder, at sidstnævnte indebærer den førstnævnte. Således er det tilstrækkeligt at finde det mindste heltal # N # sådan at # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

At finde # N # Vi vil lave en observation, som gør det muligt for os at beregne # V_5 (5 ^ k!) #.

Mellem #1# og # 5 ^ k #, der er # 5 ^ k / 5 # multipler af #5#, som hver især bidrager mindst #1# til summen #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Der er også # 5 ^ k / 25 # multipler af #25#, som hver især bidrager med yderligere #1# til summen efter den oprindelige tælling. Vi kan fortsætte på denne måde, indtil vi når et enkelt flertal af # 5 ^ k # (som er # 5 ^ k # sig selv), som har bidraget # K # gange til summen. Beregning af summen på denne måde har vi

(i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Således finder vi det # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Endelig finder vi # N # sådan at # v_5 (n!) = 2016 #. Hvis vi beregner # V_5 (5 ^ k!) # for flere værdier af # K #, vi finder

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Som #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # har brug for to "blokke" af #5^5#, to af #5^4#, fire af #5^3#, og tre af #5^2#. Således får vi

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

En computer kan hurtigt bekræfte det #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Dermed #10^2016 | 8075!#, og som #5|8075!# med mangfoldighed #2016# og #5|8075#, er det klart, at ingen mindre værdi vil være tilstrækkelig.