Forenkling S_ (k + 1) fuldstændigt. Tak?!!

Svar:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Forklaring:

Kan vi ikke bare erstatte # X = k + 1 # ind i formlen, eller mangler jeg noget her?

Sekvensen er:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Så hvis vi vil beregne # S_k #, vi sætter bare # N = k #, og få

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

I tilfælde af #S_ (k + 1) #Jeg tror, vi kan bare erstatte # N = k + 1 #, og vi skal have

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Hvis vi ønsker at udvide dette, bliver det

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 + 6k ^ 2 + 11 k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Svar:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Forklaring:

#S_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Lad erklæringen være sand for n = k, #S_k: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Lad os kontrollere for

n = k + 1, derefter

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "med det øjeblikkelige udtryk er" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Dermed, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3 + (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Verificeret.

Dermed

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #