Hvad er en stykkevis kontinuerlig funktion? + Eksempel

Svar:

En stykkevis kontinuerlig funktion er en funktion, der er kontinuerlig bortset fra et begrænset antal point i sit domæne.

Forklaring:

Bemærk, at punkterne for diskontinuitet af en stykkevis kontinuerlig funktion ikke behøver at være aftagelige diskontinuiteter. Det er, at vi ikke kræver, at funktionen kan gøres kontinuerlig ved at omdefinere den på disse punkter. Det er tilstrækkeligt, at hvis vi udelukker disse punkter fra domænet, så er funktionen kontinuerlig på det begrænsede domæne.

For eksempel overveje funktionen:

#s (x) = {(-1, "hvis x <0"), (0, "hvis x = 0"), (1, "hvis x> 0"):} #

graf {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0,001) = 0 -5, 5, -2,5, 2,5}

Dette er kontinuerligt for alle #x i RR # undtagen #x = 0 #

Diskontinuiteten ved # X = 0 # kan ikke fjernes. Vi kan ikke omdefinere #s (x) # på det tidspunkt og få en kontinuerlig funktion.

På # X = 0 # grafen af funktionen 'hopper'. Mere formelt, inden for grænserne finder vi:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Så venstre grænse og højre grænse er uenig med hinanden og med værdien af funktionen på # X = 0 #.

Hvis vi udelukker det endelige sæt diskontinuiteter fra domænet, vil funktionen begrænset til dette nye domæne være kontinuerlig.

I vores eksempel defineres definitionen af #s (x) # som en funktion fra # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # er kontinuerlig.

Hvis vi graver #s (x) # begrænset til dette domæne, ser det stadig ud som om det er diskontinuerligt hos #0#, men #0# er ikke en del af domænet, så "jump" der er irrelevant. På ethvert punkt, vilkårligt tæt på #0#, kan vi vælge et lille åbent interval omkring det, hvor funktionen er (konstant og derfor) kontinuerlig.

Lidt forvirrende, funktionen #tan (x) # betragtes som kontinuerlig - snarere end stykkevis kontinuerlig, fordi asymptoterne ved #x = pi / 2 + n pi # er udelukket fra domænet.

graf {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

I mellemtiden er sawtooth funktionen #f (x) = x - gulv (x) # betragtes ikke stykkevis kontinuert som en funktion fra # RR # til # RR #, men er kontinuerlig kontinuert på et hvilket som helst begrænset åbent interval.

graf {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3/6 + abs x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2,56, 2,44, -0,71, 1,79}