Spørgsmål # 27939

Svar:

Som Sudip Sinha har påpeget # -1 + sqrt3i # er IKKE en nul. (Jeg forsømte at kontrollere det.) De andre nuller er # 1-sqrt3 i # og #1#.

Forklaring:

Fordi alle koefficienterne er reelle tal, skal der forekomme imaginære nuller i konjugerede par.

Derfor, # 1-sqrt3 i # er et nul.

Hvis # C # er da et nul # Z-c # er en faktor, så vi kunne formere sig

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # at få # Z ^ 2-2z +4 #

og divider derefter #P (z) # ved den kvadratiske.

Men det er hurtigere at overveje den mulige rationelle nul for # P # først. Eller tilføj koefficienterne for at se det #1# er også et nul.

Svar:

#1# og # 1 - sqrt3 i #

Forklaring:

Der er en fejl i dit spørgsmål. Roten skal være # 1 + sqrt3 i #. Du kan bekræfte dette ved at sætte værdien i udtrykket. Hvis det er en rod, skal udtrykket evalueres til nul.

Udtrykket har alle virkelige koefficienter, så ved Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), har vi, at den anden komplekse rod er # 1 - sqrt3 i #, Det er klart, den tredje rod (siger #en#) skal være reel, da det ikke kan have et komplekst konjugat; ellers vil der være 4 rødder, hvilket ikke er muligt for en 3. graders ligning.

Bemærk

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Siden # (z + a) (z-a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Vi vil forsøge at få denne faktor i udtrykket.

Vi må skrive:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Svar:

Som en intro mener jeg, at roden skal være #COLOR (blå) (1 + sqrt3) # og ikke #COLOR (rød) (- 1 + sqrt3) #

På dette grundlag mit svar er:

#z i {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Forklaring:

Ved at bruge ideen om komplekse konjugater og nogle andre cool tricks.

#P (z) # er et polynom af grad #3#. Dette indebærer, at det kun bør have #3# rødder.

Et interessant faktum om komplekse rødder er, at de aldrig forekommer alene. De forekommer altid i konjugerede par.

Så hvis # 1 + isqrt3 # er en rod, så dens konjugat: # 1-isqrt3 # det er helt sikkert også en rod!

Og da der kun er en mere rod til venstre, kan vi kalde den rod # Z = en #.

Det er ikke et komplekst tal, fordi komplekse rødder altid forekommer i par.

Og da dette er den sidste af #3# rødder, der kan ikke være noget andet par efter den første!

I sidste ende er faktorerne af #P (z) # blev let fundet at være # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "og" (z-a)

NB: Bemærk at forskellen mellem en rod og en faktor er det:

- En rod kunne være # Z = 1 + i #

Men den tilsvarende faktor ville være # Z- (1 + i) #

Det andet trick er det, ved factoring #P (z) # vi skulle få noget som dette:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a)

Udvid derefter bøjlerne, (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) # (Z)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Derefter svarer vi dette til det oprindelige polynom #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a +4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Da de to polynomer er ens, svarer vi til koefficienterne for # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #og # Z ^ 0 #(den konstante sigt) på begge sider,

Faktisk skal vi bare vælge en ligning og løse det for #en#

Ligning af de konstante termer, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Derfor er den sidste rod #COLOR (blå) (z = 1) #