Bevis: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)

At bevise # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Lade # cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Nu # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

At vise

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Nogle gange er trig mindre om at lave matematik og mere om at genkende matematik, når vi ser det. Her genkender vi # 4x ^ 3 -3x # som cosinus triple vinkel formel, # cos (3 theta) # hvornår # x = cos theta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # kaldes også # T_3 (x) #, den tredje Chebyshev Polynomial of the first kind. Generelt, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Vi antager # Arccos # henviser til hovedværdien. Jeg foretrækker at ringe til rektor #text {Arc} tekst {cos} # men det er sværere at skrive.

Nok baggrund. Når vi har genkendt triple-vinkelformlen, er beviset nemt.

Bevis:

Lade #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #