Hvad er faktorerne for 6y ^ 2 - 5y ^ 3 - 4?

Svar:

# 6y ^ 2-5y ^ 3-4 = -5 (y-y_1) (y-y_2) (y-y_3) #

# y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

som forklaret nedenfor …

Forklaring:

Forsøg på at løse #f (y) = -5y ^ 3 + 6y ^ 2-4 = 0 #

Først deles igennem af # -Y ^ 3 # at få:

# 5-6 / y + 4 / y ^ 3 = 0 #

Lade #x = 1 / y #

Derefter # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 #

Lad nu #x = u + v #

# 0 = 4 (u + v) ^ 3 - 6 (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + (12uv-6) (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + 6 (2uv-1) (u + v) + 5 #

Lade #v = 1 / (2u) #

# = 4u ^ 3 + 1 / (2u ^ 3) + 5 #

Multiplicere gennem af # 2u ^ 3 # at få:

# 8 (u ^ 3) ^ 2 + 10 (u ^ 3) +1 = 0 #

# u ^ 3 = (-10 + -sqrt (100-32)) / 16 #

# = (- 10 + -sqrt (68)) / 16 #

# = (- 5 + -sqrt (17)) / 8 #

Skrive:

# u_1 = rod (3) ((- 5 + sqrt (17)) / 8) #

# v_1 = rod (3) ((- 5-sqrt (17)) / 8) #

Så rigtig rod af # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 # er

#x = u_1 + v_1 #

De to andre (komplekse) rødder er:

#x = omega u_1 + omega ^ 2 v_1 #

#x = omega ^ 2 u_1 + omega v_1 #

hvor #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i #

#y = 1 / x #

Så den rigtige rod af #f (y) = 0 # er # y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

og de komplekse rødder er:

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

#f (y) = -5 (y - y_1) (y - y_2) (y - y_3) #