Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hvad er summen i x = 3?

Hvad er konvergensintervallet for sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Og hvad er summen i x = 3?
Anonim

Svar:

# - oo, -4 "U" 5, oo "er konvergensintervallet for x" #

# "x = 3 er ikke i konvergensintervallet, så summen for x = 3 er" oo #

Forklaring:

# "Behandle summen som det ville være en geometrisk serie ved at erstatte" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Så har vi" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 #

# "Så konvergensintervallet er" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ELLER" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativ)" #

# "Positive tilfælde:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 og x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negativ sag:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 og x <5 #

# => x <-4 #

# "Anden del:" x = 3 => z = 2> 1 => "summen er" oo #