Hvad er x hvis log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Svar:

Ingen løsning i # RR #.

Løsninger i # CC #: #farve (hvid) (xxx) 2 + i farve (hvid) (xxx) "og" farve (hvid) (xxx) 2-i #

Forklaring:

Brug først logaritmen:

#log_a (x) + log_a (y) = log_a (x * y) #

Her betyder det, at du kan omdanne din ligning som følger:

# log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) #

# <=> log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

På dette tidspunkt, som din logaritme basis er #>1#, kan du "drop" logaritmen på begge sider siden #log x = log y <=> x = y # til #x, y> 0 #.

Pas på, at du ikke kan gøre sådan en ting, når der stadig er en sum af logaritmer som i starten.

Så nu har du:

# log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

# <=> (3-x) (2-x) = 1-x #

# <=> 6 - 5x + x ^ 2 = 1 - x #

# <=> 5 - 4x + x ^ 2 = 0 #

Dette er en regelmæssig kvadratisk ligning, som du kan løse på flere forskellige måder.

Denne har desværre ikke nogen løsning på rigtige tal.

#color (Blue) ("~~~~~~~~~~~~~ foreslåede tilføjelse ~~~~~~~~~~~~~~~") #

Tony B:

#color (blue) ("Jeg er enig med dine beregninger og synes de er godt præsenteret") #

#color (brun) ("hvis jeg måske vil jeg gerne udvide dit svar lidt!") #

Jeg er helt enig i, at der ikke findes nogen løsning #x! = RR #

Hvis vi derimod ser på potentialet hos #x i CC # så er vi i stand til at fastslå to løsninger.

Brug af standardformular

# ax ^ 2 + bc + c = 0 farve (hvid) (xxxx) "hvor" #

#x = (- b + - sqrt ((-b) ^ 2 -4ac)) / (2a) #

Så slutter vi med:

# (+ 4 + - 2i) / 2 -> farve (hvid) (xxx) 2 + i farve (hvid) (xxx) "og" farve (hvid)

Svar:

Min forståelse indebærer, at det givne spørgsmål skal kontrolleres. #farve (brun) ("Hvis" x i RR "så er det ubestemt. På den anden side, hvis" x notin RR "så er det måske ikke tilfældet.") #

Forklaring:

Pre-amble

Log addition er konsekvensen af multiplikation af kilde numre / variabler.

Ligestegnet er a #COLOR (blå) ("matematisk") # absolut, idet det hedder, at hvad der er den ene side af dens, har nøjagtig samme egenværdi, der er på den anden side.

Begge sider af ligestegnet er at logge base 2. Antag, at vi havde en tilfældig værdi af say # T #. Hvis vi havde # log_2 (t) "derefter antilog" log_2 (t) = t # Denne type matematiske notation er undertiden skrevet som # log_2 ^ -1 (t) = t #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Løsning på dette problem:

Tag antilogs fra begge sider, der giver i spørgsmålet indebærer:

# (3-x) (2-x) -> (1-x) #

Dette tror jeg at være #COLOR (rød) ("ubestemt") # idet LHS ikke har nøjagtig samme egenværdi som RHS. Dette#color (green) ("implies") # at spørgsmålet måske må formuleres forskelligt.

#farve (brun) ("På den anden side kan det være tilfældet, at" x i CC).

#farve (brun) ("Dette kan godt give et svar.") #

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x + 6! = (1-x) "for" x i RR #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x +6 = (1-x) "for" x i CC #

#x = 2 + i; 2-i #