Hvorfor er firkanten nyttig? + Eksempel

Svar:

At forenkle kvadratiske udtryk, så de bliver løsbare med firkantede rødder.

Forklaring:

Afslutningen af firkanten er et eksempel på en Tschirnhaus-transformation - brugen af en substitution (omend implicit) for at reducere en polynomækvation til en enklere form.

Så givet:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # med #a! = 0 #

vi kunne skrive:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (hvid) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (hvid) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (hvid) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (hvid) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (hvid) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Derfor:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Så:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Så at have startet med en kvadratisk ligning i form:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

vi fik det til en formular # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # med #t = (2ax + b) # og # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminering af det lineære udtryk, der udelader kun kvadratiske termer.

Så længe vi er glade for at beregne firkantede rødder, kan vi nu løse enhver kvadratisk ligning.

Afslutningen af firkanten er også nyttig for at få ligningen af en cirkel, ellipse eller andet konisk afsnit i standardform.

For eksempel gives:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

udfyldning af pladsen finder vi:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

giver os mulighed for at identificere denne ligning som den for en cirkel med center #(2, -3)# og radius #5#.