Hvordan løser du x + 2 = e ^ (x)?

Svar:

Brug Newtons metode

#x = 1.146193 # og #x = -1.84141 #

Forklaring:

Du kan ikke løse ligningen ved hjælp af algebraiske metoder. For denne type ligning bruger jeg en numerisk analyse teknik kaldet Newtons metode.

Her er en henvisning til Newtons metode

Lade #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Du starter med et gæt for # X_0 # og gør derefter følgende beregning for at komme tættere på løsningen:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Du foretager beregning, der fodrer hvert trin tilbage i ligningen, indtil det nummer du får, ikke ændres fra det forrige nummer.

Fordi Newtons metode er beregningsintensiv, bruger jeg et Excel-regneark.

Åbn et Excel-regneark

Ind i celle A1 indtast dit gæt for # X_0 #. Jeg trådte 1 ind i celle A1.

Ind i celle A2 indtaste følgende udtryk:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Kopier indholdet af celle A2 i udklipsholderen og indsæt det derefter i celle A3 gennem A10.

Du vil se, at nummeret hurtigt konvergerer på #x = 1.146193 #

Rediger: Efter at have læst en meget flot kommentar fra Shell. Jeg besluttede at finde den anden rod ved at ændre værdien af celle A1 fra 1 til -1. Regnearket konvergerer hurtigt på værdien #x = -1.84141 #

Svar:

Dette spørgsmål kan ikke løses algebraisk. Grafering giver # X = -1,841 # og # X = 1.146 #.

Forklaring:

Den venstre side af ligningen # x + 2 # er algebraisk.

Den højre side af ligningen # E ^ x # er transcendentalt (det kan ikke udtrykkes som et polynom, fx exponentielle, logs, trig-funktioner).

Denne ligning kan ikke løses algebraisk, men den kan løses grafisk.

For at løse, plot begge #COLOR (rød) (y = x + 2) # og #COLOR (blå) (y = e ^ x) # i et grafisk værktøj eller en grafisk regnemaskine. Løsningerne er #x# koordinater af krydsene.