Løs spørgsmål 39?

Svar:

B

Forklaring:

For det første skal vi gøre brug af det faktum, at tallene skal være på hinanden følgende, ved at kalde de numre, vi vælger at være # N-1, n, n + 1 #, hvor hvis vi overholder begrænsningerne # N # skal være mellem #-9# og #9# inklusive.

For det andet bemærke, at hvis vi får en bestemt værdi for en bestemt # A, b, c #, vi kan bytte rundt om disse specifikke værdier, men får stadig det samme resultat. (Jeg mener, at dette kaldes at være permutabelt, men glem det rette udtryk)

Så vi kan bare lade # A = n-1 #,# B = n #,# C = n + 1 #, nu sætter vi det i:

# (A ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Nu bliver vores problem for at se for hvilke værdier af # -9 <= n <= 9 # udtrykket giver et helt tal værdier, hvor mange forskellige værdier vi får.

Jeg vil fortsætte løsningen i et separat svar bare for at gøre det nemmere at læse.

Svar:

Del 2 af min sol'n. Dette vil bruge modulær aritmetik, men hvis du ikke er bekendt med det så er der altid mulighed for at subbing i alle nødvendige værdier af # N #

Forklaring:

Fordi udtrykket skal være et helt tal, skal bunden opdele toppen nøjagtigt. Således skal tælleren have en faktor på 3. Og for dette skal vi bruge modulær aritmetik.

Undersøg, for hvilket n opfylder: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Nu sagsbehandling:

1. Vi forsøger # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, som ikke virker

2. Vi prøver # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, som virker

3. Vi prøver # N = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, som ikke virker

Så afledes vi det # N # skal være af formularen # 3k + 1 #, eller en mere end et multiplum af 3. Overvejer vores sortiment for n, væsen # -9 <= n <= 9 #, vi har mulige værdier for:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

På dette tidspunkt kan du måske bruge det faktum at # N = 3k + 1 #, men med kun 6 værdier, der skal kontrolleres, besluttede jeg at beregne hver enkelt i stedet og den eneste værdi for # N # det fungerer er # N = 1 #, der producerer resultatet af #1#.

Så endelig er det eneste sæt af fortløbende tal, der producerer et heltal resultat #0,1,2#, giver #1# derfor er svaret # B #