Hvordan bruger du den første afledetest til at bestemme den lokale ekstrem y = sin x cos x?

Svar:

Den ekstreme for # Y = sin (x) cos (x) # er

# X = pi / 4 + npi / 2 #

med # N # et relativt heltal

Forklaring:

Være #F (x) # funktionen der repræsenterer variationen af # Y # med repsect til #x#.

Være #F '(x) # derivatet af #F (x) #.

#F '(a) # er hældningen af #F (x) # kurve ved # x = en # punkt.

Når hældningen er positiv, stiger kurven.

Når hældningen er negativ, falder kurven.

Når hældningen er null, forbliver kurven med samme værdi.

Når kurven når en ekstrem, vil den stoppe med at øge / falde og begynde at falde / stige. Med andre ord vil hældningen gå fra positiv til negativ - eller negativ til positiv - forbi nulværdien.

Derfor, hvis du leder efter en funktions extrema, skal du søge efter dens afledtes nullværdier.

N. B. Der er en situation, hvor derivatet er null, men kurven når ikke ekstremt: det kaldes et bøjningspunkt. kurven vil øjeblikkeligt ophøre med at øge / falde og derefter genoptage dens stigende / faldende. Så du bør også kontrollere, om skråningens tegn skifter omkring sin nullværdi.

Eksempel: #F (x) = sin (x) cos (x) = y #

#F '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Nu hvor vi har formlen til #F '(x) #, vi vil se efter dens null værdier:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Løsningerne er # Pi / 4 + npi / 2 # med # N # et relativt heltal.

Svar:

Selvom vi planlægger at bruge den første afledte test, er det værd at observere det #y = 1/2 synd (2x) #.

Forklaring:

Efter at have gjort denne observation, har vi ikke rigtig brug for beregning for at finde ekstrem.

Vi kan stole på vores viden om trigonometri og graferne af sinusformede funktioner

Maksimumsværdien (1/2) vil forekomme, når # 2x = pi / 2 + 2pik # eller hvornår #x = pi / 4 + pik # til # K # et heltal.

Minimumet forekommer kl #x = 3pi / 4 + pik # til # K # et heltal.

Vi kan bruge derivatet, men det har vi ikke brug for.

Brug af derivatet

Har genskrevet # Y #, vi kan hurtigt se det #y '= cos (2x) #

Så de kritiske tal for # Y # er # 2x = pi / 2 + 2pik # og # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (når cosinus er #0#) eller

# x = pi / 4 + pik # og # x = (3pi) / 4 + pik #

Kontrollerer tegn på #y '= cos (2x) #, vil vi finde maksimale værdier ved det første sæt kritiske tal og minimumsværdier ved den anden.