Hvad er ligningen af tangentlinjen for f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 ved x = 5?

Tastelinjens ligning er af formen:

# Y = farve (orange) (a) x + farve (violet) (b) #

hvor #en# er hældningen af denne lige linje.

For at finde hældningen af denne tangentlinje til #F (x) # på punkt # X = 5 # vi bør differentiere #F (x) #

#F (x) # er en kvotientfunktion af formularen # (U (x)) / (v (x)) #

hvor #u (x) = x-3 # og #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#COLOR (blå) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#COLOR (rød) (u '(x) = 1) #

#v (x) # er en sammensat funktion, så vi skal anvende kæderegel

lade #g (x) = x ^ 2 # og #H (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#COLOR (rød) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # derefter

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#COLOR (rød) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#COLOR (rød) (v '(x) = 2 (x-4) #

#COLOR (blå) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#F '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#F '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#F '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#F '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#F '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

forenkling af den fælles faktor # x-4 # mellem tæller og nævneren

#COLOR (blå) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Fordi tangentlinjen passerer gennem punktet # X = 5 # så vi kan finde værdien af hældningen #en# ved at erstatte # X = 5 # i # f '(x) #

#COLOR (orange) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (orange) (a = -3) #

På grund af abscissen af tangenspunktet #COLOR (brun) (x = 5) # lader

Lad os finde sin ordinat # Y = f (5) #

#COLOR (brun) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y = 2/1 #

#COLOR (brun) (y = 2) #

Har koordinaterne for tangentpunktet #COLOR (brun) ((5, 2)) # og hældningen #COLOR (orange) (a = -3) # lad os finde #COLOR (violet) (b) #

Lad os erstatte alle de kendte værdier i ligningens ligning for at finde værdi #COLOR (violet) (b) #

#COLOR (brun) (y) = farve (orange) (a) farve (brun) (x) + farve (violet) (b) #

# 2 = -3 (5) + farve (violet) (b) #

# 2 = -15 + farve (violet (b) #

# 17 = farve (violet) (b) #

derfor ligningslinjens ligning ved punkt #COLOR (brun) ((5, 2)) # er:

# Y = -3x + 17 #