Løs differentialforskellen: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y Diskuter hvilken slags differentialligning er dette, og hvornår kan det opstå?

Svar:

#y = (Axe + B) e ^ (4x) #

Forklaring:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

bedst skrevet som

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

hvilket viser, at dette er lineær anden ordens homogene differentialekvation

den har karakteristisk ligning

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

som kan løses som følger

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

dette er en gentagen rod, så den generelle løsning er i form

#y = (Axe + B) e ^ (4x) #

Dette er ikke-oscillerende og modellerer en form for eksponentiel adfærd, der virkelig afhænger af værdien af A og B. Man kan gætte, at det kunne være et forsøg på at modellere befolkning eller rovdyr / bytteinteraktion, men jeg kan ikke rigtig sige noget meget specifikt.

det viser ustabilitet og det handler om alt, hvad jeg virkelig kunne sige om det

Svar:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Forklaring:

Differentialekvationen

# (D ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

er en lineær homogen konstant koefficientekvation.

For disse ligninger har den generelle løsning strukturen

#y = e ^ {lambda x} #

At erstatte vi har

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Her # e ^ {lambda x} ne 0 # så løsningerne skal adlyde

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Løsning opnår vi

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Når rødderne gentager sig, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # er også en løsning. I tilfælde af # N # rødder gentages, vi vil have som løsninger:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # til # I = 1,2, cdots, n #

For at opretholde antallet af oprindelige betingelser indgår vi dem som uafhængige løsninger.

I dette tilfælde har vi

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

hvilket resulterer i

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Disse ligninger forekommer, når modellering lineære klumpede parametersystemer som dem, der findes i lineær kredsløbsteori eller lineær mekanik. Disse ligninger behandles normalt ved brug af operationelle algebraiske metoder som Laplace Transform-metoder