Hvordan integreres int x ^ lnx?

Svar:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Forklaring:

Vi begynder med en u-substitution med # U = ln (x) #. Vi deler derefter med derivatet af # U # at integrere med hensyn til # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Nu skal vi løse for #x# med hensyn til # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

(u ^ du * int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Du kan gætte, at dette ikke har et elementært anti-derivat, og du ville have ret. Vi kan dog bruge formularen til den imaginære fejlfunktion, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

For at få vores integral i denne formular kan vi kun have en kvadreret variabel i eksponenten af # E #, så vi skal færdiggøre torget:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ (u + 1/2) ^ 2) du #

Nu kan vi introducere en u-substitution med # T = u + 1/2 #. Derivatet er bare #1#, så vi behøver ikke at gøre noget særligt at integrere med hensyn til # T #:

#t ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ 1/4) SQRTPI / 2 * Erfi (t) + C #

Nu kan vi fortryde alle substitutionerne for at få:

#e ^ (- 1/4) KVRODPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) KVRODPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #