Hvordan løser jeg 2sinx = cos (x / 3)?

Svar:

Vores omtrentlige løsninger er:

# x = {163.058 ^ cirk., 703.058 ^ cirk., 29.5149 ^ cirk., 569.51 ^ cirk. -192.573 ^ cirk. eller -732.573 ^ cirk} + 1080 ^ cirk k quad #

for heltal # K #.

Forklaring:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Dette er en ret hård.

Lad os begynde med at indstille # Y = x / 3 # så # x = 3y # og erstatning. Så kan vi bruge triple-vinkelformlen:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Lad os firkantet, så vi skriver alt i form af # sin ^ 2 y #. Dette vil sandsynligvis introducere fremmede røtter.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Lade # s = sin ^ 2 y #. Squared sines kaldes spreder sig i rationel trigonometri.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Det er en kubisk ligning med tre virkelige rødder, kandidater til den kvadrede sines of # 3x. # Vi kunne anvende den kubiske formel, men det vil bare føre til nogle kube rødder af komplekse tal, der ikke er særlig hjælpsomme. Lad os bare tage en numerisk løsning:

# s 0.66035 eller s 0.029196 eller s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Lad os arbejde i grader. Vores potentielle omtrentlige løsninger er:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0,66035}) ca. pm 163.058 ^ cirk eller pm 703.058 ^ cirk #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0,029196}) ca. pm 29.5149 ^ cirk eller pm 569.51 ^ cirkel #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0,81045}) ca. pm 192.573 ^ cirk eller pm 732.573 ^ cirkel #

Lad os se om nogen af dem arbejder. Lade #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ cirk) ca. 0.00001 quad # det er en løsning.

#e (-163.058 ^ cirk) ca. -1.17 quad # ikke en løsning.

Tydeligvis højst en af a #om eftermiddagen# par vil arbejde.

Ti mere at gå.

#e (703.058 ^ cirk) ca. 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ cirk) quad # Nix

#e (29.5149 ^ cirk) ca. 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ cirk) quad # Nix

#e (569.51 ^ cirk) ca. 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ cirk) quad # Nix

#e (192.573 ^ cirk) ca. -7,7 quad # Nix

#e (-192.573 ^ cirk) ca. 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ cirk) ca. -8,7 quad # Nix

#e (-732.573 ^ cirk) ca. 0.00001 quad sqrt #

Arcsin kommer med a # + 360 ^ circ k #, og faktor 3 gør det # 1080 ^ cirkel k. #

OK, vores omtrentlige løsninger er:

# x = {163.058 ^ cirk, 703.058 ^ cirk, 29.5149 ^ cirk, 569.51 ^ cirk, -192.573 ^ cirk, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ cirk k quad # for heltal # K #.