Hvad er området med en trapezoid, hvis diagonaler er hver 30 og hvis højde er 18?

Svar:

#S_ (trapez) = 432 #

Forklaring:

Overvej figur 1

I en trapezformet ABCD, der opfylder betingelserne for problemet (hvor # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, og AB er parallelt med cd) bemærker vi, at anvende den alternative interiørvinkelsætning # Alfa = delta # og # Beta = gamma #.

Hvis vi tegner to linjer vinkelret på segment AB, der danner segmenter AF og BG, kan vi se det #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (fordi begge trekanter er de rigtige, og vi ved, at en persons hypotese er lig med hinanden, og at et ben af en trekant er lig med et ben i den anden trekant) så # Alfa = beta # => # Gamma = delta #.

Siden # Gamma = delta # vi kan se det #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # og # AD = BC #, derfor er trapezoiden ensidige.

Vi kan også se det #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (eller # X = y # i figur 2).

Overvej figur 2

Vi kan se, at trapezoiden i figur 2 har en anden form end den i figur 1, men begge opfylder betingelserne for problemet. Jeg præsenterede disse to tal for at vise, at oplysningerne i problemet ikke tillader at bestemme størrelsen af basen 1 (# M #) og af basen 2 (# N #) af trapezoidet, men vi vil se, at der ikke er behov for mere information til at beregne trapesformet område.

I #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (X + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Siden # n = m + x + y # og # X = y # => # n = m + 2 * x # og # M + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # M + n = 48 #

#S_ (trapez) = (base_1 + base_2) / 2 * højde = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Bemærk: vi kunne forsøge at bestemme m og n konjugere disse to ligninger:

I #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

I #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # fordi #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Men at løse dette system af to ligninger, ville vi kun opdage det m og siden AD er ubestemt.