Hvad er kvadratroten på 90?

Svar:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Forklaring:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # er et irrationelt nummer et sted mellem #sqrt (81) = 9 # og #sqrt (100) = 10 #.

Faktisk siden #90 = 9 * 10# er af formen #n (n + 1) # den har en regelmæssig fortsat fraktion udvidelse af formularen # N, bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; bar (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…)))))) #

En sjov måde at finde rationelle tilnærmelser på, er at bruge en heltalssekvens defineret af en lineær gentagelse.

Overvej den kvadratiske ligning med nuller # 19 + 2sqrt (90) # og # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (hvid) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (hvid) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#farve (hvid) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Så:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Brug dette til at udlede en sekvens:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):}

De første få udtryk i denne sekvens er:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

Forholdet mellem successive vilkår vil have tendens til # 19 + 2sqrt (90) #

Derfor:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #