X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 har en rod x = sqrt (2) + sqrt (3). Hvad er de andre tre rødder og hvorfor?

Svar:

De andre tre rødder er #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # og #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Hvad med hvorfor, lad mig fortælle dig en historie …

Forklaring:

Hr. Rational bor i Algebra.

Han kender alle numrene på formularen # M / n # hvor # M # og # N # er heltal og #n! = 0 #.

Han er ganske glad for at løse polynomier som # 3x + 8 = 0 # og # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, men der er mange der puslespil ham.

Selv et tilsyneladende simpelt polynom sådan # X ^ 2-2 = 0 # synes uopløselig.

Hans rige nabo, hr. Real, er ærgerlig over ham. "Hvad du har brug for er, hvad der kaldes en kvadratrode af #2#. Her går du. ". Med disse ord overlader hr. Real et mystisk skinnende blåt nummer kaldet # R_2 # til hr. rational. Alt hvad han fortæller om dette nummer er det # R_2 ^ 2 = 2 #.

Hr. Rational går tilbage til hans studie og har et spil med denne mystiske # R_2 #.

Efter et stykke tid finder han, at han kan tilføje, trække, formere og dele tal af formularen # a + b R_2 # hvor #en# og # B # er rationelle og ender med tal af samme form. Han bemærker også det # X ^ 2-2 = 0 # har en anden løsning, nemlig # -R_2 #.

Han er nu i stand til at løse ikke bare # X ^ 2-2 = 0 #, men # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # og mange andre.

Mange andre polynomer undviger stadig løsningen. For eksempel, # X ^ 2-3 = 0 #, men hr. Real er glad for at give ham et skinnende grønt nummer kaldet # R_3 # det løser det.

Hr. Rational finder snart, at han kan udtrykke alle de numre, han kan lave som # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, hvor #en#, # B #, # C # og # D # er rationelle.

En dag har hr. Rational et forsøg på at løse # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Han finder det # X = R_2 + R_3 # er en løsning.

Før han leder efter flere løsninger, støder han til sin nabo, hr. Real. Han takker hr. Real for gave af # R_2 # og # R_3 #, men har en forespørgsel om dem. "Jeg har glemt at spørge:", siger han, "Er de positive eller negative?". "Jeg troede ikke, du ville bryde mig.", Sagde hr. Real. "Så længe du løser polynomier med rationelle koefficienter, er det ikke rigtig noget. Reglerne du har fundet for at tilføje, subtrahere, multiplicere og dividere dine nye numre fungerer lige så godt med enten. Faktisk tror jeg den du hedder # R_2 # er hvad de fleste mennesker kalder # -Sqrt (2) # og den du ringede til # R_3 # er hvad de fleste mennesker kalder #sqrt (3) #'.

Så for hr. Rational's nye numre af formularen # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # det er ligegyldigt om # R_2 # og / eller # R_3 # er positive eller negative fra det synspunkt at løse polynomier med rationelle koefficienter.