Et positivt heltal er 3 mindre end to gange et andet. Summen af deres kvadrater er 117. Hvad er heltalene?

Svar:

#9# og #6#

Forklaring:

Firkanterne for de første få positive heltal er:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

De eneste to hvis sum er #117# er #36# og #81#.

De passer til betingelserne siden:

#COLOR (blå) (6) * 2-3 = farve (blå) (9) #

og:

#farve (blå) (6) ^ 2 + farve (blå) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Så de to heltal er #9# og #6#

Hvordan kan vi have fundet disse mere formelt?

Antag, at heltalene er # M # og # N #, med:

#m = 2n-3 #

Derefter:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Så:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (hvid) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (hvid) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (hvid) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (hvid) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (hvid) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (hvid) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Derfor:

#n = 6 "" # eller # "" n = -18 / 5 #

Vi er kun interesserede i positive heltalsløsninger, så:

#n = 6 #

Derefter:

#m = 2n-3 = 2 (farve (blå) (6)) - 3 = 9 #