Hvad er den globale og lokale ekstrem af f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Svar:

#F (x) # har et absolut minimum på #(-1. 0)#

#F (x) # har et lokalt maksimum på # (- 3, 4e ^ -3) #

Forklaring:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Produktregel

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

For absolut eller lokal ekstrem: #f '(x) = 0 #

Det er her: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Siden # e ^ x> 0 forall x i RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 eller -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Produktregel

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Igen siden # E ^ x> 0 # vi behøver kun at teste tegnet på # (X ^ 2 + 6x + 7) #

på vores ekstrem punkter for at afgøre, om punktet er et maksimum eller et minimum.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # er et minimum

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # er et maksimum

I betragtning af grafen af #F (x) # nedenfor er det klart, at #F (-3) # er et lokalt maksimum og #F (-1) # er et absolut minimum.

graf {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Endelig evaluering af ekstrem punkter:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

og

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0,199 #