Hvordan bruger du binomialserien til at udvide sqrt (z ^ 2-1)?

Svar:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + … #

Forklaring:

Jeg vil gerne have en dobbelt check, fordi jeg som fysikstuderende sjældent kommer forbi # (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx # for lille x så jeg er lidt rusten. Binomialserien er et specialiseret tilfælde af binomial sætningen, som siger det

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Med # (n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Hvad vi har er # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, dette er ikke den rigtige formular. For at rette op på dette, skal du huske det # i ^ 2 = -1 # så vi har:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Dette er nu i den rigtige form med #x = -z ^ 2 #

Derfor vil udvidelsen være:

#i 1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #