Hvordan bruger du binomialserien til at udvide sqrt (1 + x)?

Svar:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # med #x i CC #

Brug generaliseringen af binomialformlen til komplekse tal.

Forklaring:

Der er en generalisering af binomialformlen til de komplekse tal.

Den generelle binomialserieformel synes at være # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k # med # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (ifølge Wikipedia). Lad os anvende det på dit udtryk.

Dette er en power-serie så naturligvis, hvis vi vil have chancer for, at dette ikke afviger, skal vi sætte #absx <1 # og sådan udvider du #sqrt (1 + x) # med binomialserien.

Jeg vil ikke vise, at formlen er sand, men det er ikke for svært, du skal bare se, at den komplekse funktion, der er defineret af # (1 + z) ^ r # er holomorphic på enheden disken, beregne hvert derivat af det ved 0, og dette vil give dig Taylor formel af funktionen, hvilket betyder at du kan udvikle det som en strømserie på enhedsskiven fordi #absz <1 #dermed resultatet.