Hvad er vinklen mellem <-3,9, -7> og <4, -2,8>?

Svar:

$theta ~ = 2.49$ radianer

Forklaring:

Bemærk: Englen mellem to ikke-null vektor u og v, hvor $0 <= theta <= pi$ er definere som

$vec u = <u_1, u_2, u_3>$

$vec v = <v_1, v_2, v_3>$

$cos theta = (u * v) / (|| u || "|| v ||$

Hvor som: $"" u * v = (u_1v_1) + (u_2v_2) + (u_3v_3)$

$|| u || = sqrt ((u_1) ^ 2 + (u_2) ^ 2 + (u_3) ^ 2)$

$|| v || = sqrt ((v_1) ^ 2 + (v_2) ^ 2 + (v_3) ^ 2)$

Trin 1: Lad

$vec u = <-3, 9, -7>$ og

$vec v = <4, -2, 8>$

Trin 2: Lad os finde $farve (rød) (u * v)$

$color (rød) (u * v) = (-3) (4) + (9) (- 2) + (-7) (8)$

$= -12 -18 -56$

$= farve (rød) (- 86)$

Trin 3: Lad finde $COLOR (blå) (|| u ||)$

$vec u = <-3, 9 - 7>$

$color (blå) (|| u ||) = sqrt ((- 3) ^ 2 + (9) ^ 2 + (-7) ^ 2)$

$= Sqrt (9 + 81 + 49)$

$= Farve (blå) (sqrt139)$

Trin 4 Lad finde $COLOR (lilla) (|| v ||)$

$vec v = <4, -2, 8>$

$color (lilla) (|| v ||) = sqrt ((4) ^ 2 + (-2) ^ 2 + (8) ^ 2)$

$= sqrt (16 + 4 + 64) = farve (lilla) (sqrt84)$

Trin 5; Lad det erstatte det med ovenstående formel og find $Theta$

$cos theta = (u * v) / (|| u || "|| v ||)$

$cos theta = farve (rød) (- 86) / ((farve (blå) sqrt (139)) farve (lilla) ((sqrt84))$

$cos theta = farve (rød) (- 86) / (sqrt11676)$

$theta = cos ^ (- 1) (- 86 / (sqrt11676))$

$theta ~ = 2.49$ radianer

** Bemærk: Dette skyldes $u * v <0$

To sider af et parallelogram er 24 fod og 30 fod. Vinklen mellem vinklen mellem disse sider er 57 grader. Hvad er parallelogrammets område til nærmeste kvadratfod?

604 ft. ^ 2 Se nedenstående figur I det givne parallelogram tegner vi en linie vinkelret på den ene side, der måler 30, fra det vinkel, der er fælles med en af siderne, der måler 24, det dannede segment (når det møder linjen, hvori den anden side måler 30 lag) er højden (h). Fra figuren kan vi se, at synden 57 ^ @ = h / 24 => h = 24 * sin 57^@=20.128 ft. Området af et parallelogram er S = base * højde Så S = 30 * 20.128 ~ = 603.84 ft . ^ 2 (afrunding af resultatet, -> 604ft. ^ 2)

En trekant har siderne A, B og C. Siderne A og B har henholdsvis længder på henholdsvis 10 og 8. Vinklen mellem A og C er (13pi) / 24, og vinklen mellem B og C er (pi) 24. Hvad er området for trekanten?

Da trekantvinkler tilføjes til pi, kan vi finde ud af vinklen mellem de givne sider, og områdeformlen giver A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}). Det hjælper, hvis vi alle holder os til konventet med små bogstavs sider a, b, c og store bogstaver modsatte vinkler A, B, C. Lad os gøre det her. Arealet af en trekant er A = 1/2 a b sin C hvor C er vinklen mellem a og b. Vi har B = frac {13 pi} {24} og (gætter det er en typografi i spørgsmålet) A = pi / 24. Da trekantvinkler tilføjer op til 180 ^ circ aka pi får vi C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi}

En trekant har siderne A, B og C. Siderne A og B har henholdsvis 3 og 5 længder. Vinklen mellem A og C er (13pi) / 24, og vinklen mellem B og C er (7pi) / 24. Hvad er området for trekanten?

Ved brug af 3 love: Summen af vinkler. Lov af kosiner Herons formel. Området er 3,75. Cosinusloven for side C angiver: C ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c) eller C = sqrt (A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c)) hvor 'c' er vinklen mellem siderne A og B. Dette kan findes ved at vide, at summen af grader af alle vinkler er lig med 180 eller i dette tilfælde tale i rad, π: a + b + c = π c = π-bc = π-13 / 24π-7 / 24π = 24 / 24π-13 / 24π-7 / 24π = (24-13-7) / 24π = 4 / 24π = π / 6 c = π / 6 Nu hvor vinklen c er kendt, kan side C beregnes: C = sqrt (3 ^ 2 + 5 ^ 2-2 * 3 * 5 * cos (π / 6)) = sqrt (9 + 25-30 *