Hvad er derivatet af f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2))?

Svar:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Forklaring:

Vi vil kræve brug af to regler: produktreglen og kædereglen. Produktreglen fastslår, at:

# (D (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

Kædelegemet siger at:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, hvor # U # er en funktion af #x# og # Y # er en funktion af # U #.

Derfor, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))'

For at finde derivatet af #sqrt (1-x ^ 2) #, brug kædelegemet med

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Ved at erstatte dette resultat med den oprindelige ligning:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.