Halveringstiden for kobolt 60 er 5 år. Hvordan får man en eksponentiel henfaldsmodel for kobolt 60 i form Q (t) = Q0e ^ -kt?

Svar:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Forklaring:

Vi opretter en differentialekvation. Vi ved, at koblingshastigheden er proportional med mængden af kobolt til stede. Vi ved også, at det er en forfaldsmodel, så der vil være et negativt tegn:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Dette er en fin, nem og separat diff eq:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# indebærer ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Hæv hver side til eksponenter:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Nu hvor vi kender den generelle form, skal vi udarbejde hvad # K # er.

Lad halveringstid betegnes af # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Tag naturlige logs fra begge sider:

#ln (1/2) = -ktau #

# k = - (ln (1/2)) / tau #

For nyhed, omskrive #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

# derfor er Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #