Hvad er den rigtige løsning fra det givne spørgsmål? ps - Jeg har 98 som svar, men det er ikke korrekt (? idk måske er det givne svar på bagsiden forkert, du kan også se og tjekke min løsning, jeg har vedhæftet løsningen under spørgsmålet)

Svar:

#98# er det rigtige svar.

Forklaring:

Givet:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Opdeling af #4# vi finder:

# X ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alfabet + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Så:

# {(alpha + beta + gamma = 7/4), (alfabet + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Så:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (hvid) (49/16) = (alfa + beta + gamma) ^ 2-2 (alfabet + betagamma + gammaalpha) #

#color (hvid) (49/16) = alfa ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 #

og:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (hvid) (7/8) = (alfabet + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alpha + beta + gamma) #

#color (hvid) (7/8) = alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2a ^^ 2 #

Så:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (hvid) (49/128) = (alfa ^ 2beta2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alfa2) ^ 2-2 (alfabetmamma) ^ 2 (alfa ^ 2 beta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (hvid) (49/128) = alfa ^ 4beta ^ 4 + beta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Så:

(4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a + 4a +

#color (hvid) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (hvid) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (hvid) (alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Svar:

#98#

Forklaring:

Alternativt, som en ekstra check, bemærk at rødderne af:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

er reciprocals af rødderne af:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Så vi kan finde # Alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 # for rødderne af denne kubik for at beregne #alpha ^ (- 4) + beta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # for rødderne af den oprindelige kubiske.

Givet:

# X ^ 3 + 0x ^ 2-7x +4 #

# = (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alfabet + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Vi finder:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alfabet + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):}

Så:

# Alfa ^ 2 + beta ^ 2 + y ^ 2 #

# = (alfa + beta + gamma) ^ 2-2 (alfabet + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# Alfa ^ 2beta ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + y ^ 2alpha ^ 2 #

# = (alfabet + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2 alfabetagam (alfa + beta + gamma) = (-7) 2-2 (4) (0) = 49 #

# Alpha ^ 4 + beta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# 2 (alpha ^ 2 + beta ^ 2 + gamma ^ 2 ^ 2-2 (alpha ^ 2a ^ 2 + beta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2a ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #