Vi harf: {1,2,3} -> {1,2} og g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Hvor mange injektive f og g funtions eksisterer?

Svar:

# F # kan ikke være injicerende.

# G # kan være injicerende i #24# måder.

Forklaring:

En funktion er injektiv, hvis intet to indgange giver samme output. Med andre ord, noget som

#f (x) = f (y), quad x ne y #

kan ikke ske

Dette betyder, at i tilfælde af en endelig domæne og codomain kan en funktion være injektiv, hvis og kun hvis domænet er mindre end codomainet (eller højst lige) i form af kardinalitet.

Det er derfor # F # kan aldrig være injicerende. Faktisk kan du rette #F (1) # som du vil. Sige #F (1) = 1 #, for eksempel. Når du vælger #F (2) #, vi kan ikke sige det igen #F (2) = 1 #, eller # F # ville ikke være injicerende. Men når det kommer til #F (3) # Vi har intet valg, hvis vi siger #F (3) = 1 # vi har #F (1) = f (3) #, og hvis vi siger #F (3) = 2 # vi har #F (2) = f (3) #.

Med andre ord skal vi påtage os en af to mulige ouputs til hver af de tre indgange. Det skal være tydeligt, at inputene ikke kan give forskellige output.

På den anden side # G # kan være injicerende, da der er "nok plads": hver af de tre indgange kan vælge en af de fire udgange på en sådan måde, at ingen forskellige indgange giver samme output.

Men på hvor mange måder? Godt, lad os starte med igen #F (1) #. Vi kan vælge en af de fire ouputs for denne indgang, så vi kan vælge #F (1) # på fire måder.

Når det kommer til #F (2) #, vi mister en vis frihed: vi kan tildele enhver værdi til #F (2) #, bortset fra den vi tildelte #F (1) #, så vi er tilbage med to valg. For eksempel, hvis vi fikset #F (1) = 2 #, derefter #F (2) # kan enten være #1#, #3# eller #4#.

Med samme logik har vi to valg til #F (3) #: Fra de fire mulige valg udelukker vi de allerede tildelte #F (1) # og #F (3) #.

Så vi kan definere # G # i #4*3*2 = 24# måder sådan at # G # er injektiv.