Spørgsmål nr. 39008

Svar:

Dimensioner af kassen er # 11,1 cm xx52cmxx6cm #, men denne boks findes kun i mit hoved. Der findes ingen sådan boks i virkeligheden.

Forklaring:

Det hjælper altid med at tegne et diagram.

Oprindeligt havde kassen dimensioner # L # (længde, som ikke er kendt) og # W # (bredde, som heller ikke er kendt). Men når vi skærer ud firkanterne af længden #6#, får vi dette:

Hvis vi skulle folde de røde områder op for at danne siderne af kassen, ville kassen have højde #6#. Bredden af kassen ville være # W-12 + 6 + 6 = w #, og længden ville være # l-12 #. Vi ved # V = LWH #, så:

# V = (l-12) (w) (6) #

Men problemet siger, at lydstyrken er #3456#, så:

# 3456 = 6w (l-12) #

Nu har vi dette system:

# 1200 = lw "ligning 1" #

# 3456 = 6w (l-12) "ligning 2" #

Løsning for # W # i ligning 1 har vi:

# W = 1200 / l #

Plugging dette ind for # W # i ligning 2 har vi:

# 3456 = 6w (l-12) #

# 3456 = 6 (1200 / l) (l-12) #

# 3456 = (7200 / l) (l-12) #

# 3456 = 7200-86.400 / l #

# 86400 / l = 3744 #

# 86400 = 3744l-> l ~~ 23.1 # cm

Vi ved det # W = 1200 / l #, og vi kan bruge dette til at løse for bredden:

# W = 1200 / 23,1 ~~ 52 # cm

Bemærk, at disse er dimensionerne på det originale metalark. Når vi tager ud af #6# cm firkanter for at danne boksen, længden ændres med #12#. Derfor er længden af kassen #23.1-12=11.1# cm.

Når du kontrollerer dimensionerne af # Lxxwxxh-> 11.1cmxx52cmxx6cm #, vil du se, at lydstyrken er slukket med lidt på grund af afrunding.

# "Bokens lydstyrke" = 3456cm ^ 3 #

# "Bokens højde" = 6cm #

# "Basisområdet af boksen" #

# = "Dens lydstyrke" / "højde" = 3456/6 = 576cm ^ 2 #

Lad nu længden af kassen være -en cm og dens bredde være b cm.

Derefter # Ab = 576 ….. (1) #

For at holde boksens volumen og højde med den angivne værdi dens basisareal # Axxb # skal løses på # 576cm ^ 2 #

# "Nu område af sine 4 sider" #

# = 2 (a + b) 6 = 12 (a + b) cm ^ 2 #

At konstruere boksen 4 firkanter af dimension # (6xx6) cm ^ 2 # er blevet afskåret.

Så

# ab + 12 (a + b) + 4 * 6 * 6 = "Areal af arket" … (2) #

Lad os nu se, hvad der sker, hvis vi forsøger at finde ud af det -en og b ved anvendelse af ligning (1) og (2).

Kombinerer (1) og (2) får vi

# 576 + 12 (a + b) + 144 = "arkområde" = 1200 #

# => 12 (a + b) = 1200-576-144 = 480 #

# => A + b = 40 #

Nu forsøger at finde ud af # A-b #

# (A-b) ^ 2 = (a + b) ^ 2-4ab = 40 ^ 2-4 * 576 #

# => (A-b) ^ 2 = 1600-2304 <0 #

Dette viser, at reel løsning ikke er mulig med arkområde 1200cm ^ 2.

Men en reel løsning er mulig med en minimumsværdi af omkredsen af bunden af boksen, dvs.# 2 (a + b) # dvs.# A + b #

# "Nu" (a + b) = (sqrta-sqrtb) ^ 2 + 2sqrt (ab) #

for reelle værdier af -en og b, # (A + b) # vil være minimum iff # (Sqrta-sqrtb) = 0 => a = b # #color (rød) ("som" ab = "konstant") #

Dette giver # Axxb = 576 => a ^ 2 = 576 #

# => A = 24cm #

og # B = 24cm #

Derefter ved relation (2)

# "Arkområde" = ab + 12 (a + b) + 144 #

# = 576 + 12 * (24 + 24) + 144 = 1296cm ^ 2 #

Nu med dette arkområde på # 1296cm ^ 2 # problemet kan løses.

Og den boksens dimension så bliver det

# 24cmxx24cmxx6cm #