Hvad er standardformen for parabolas ligning med fokus på (2, -5) og en directrix af y = 6?

Svar:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # Dette er standardformular.

Forklaring:

Da directrixen er en vandret, ved vi, at parabolen åbner op eller ned, og den kugleformede form af dens ligning er:

#y = a (x-h) ^ 2 + k "1" #

Vi ved at x-koordinatet af vertexet, h, er det samme som fokusets x koordinat:

#h = 2 #

Erstatte dette i ligning 1:

#y = a (x-2) ^ 2 + k "2" #

Vi ved, at y-koordinaten af vertexet, k, er midtpunktet mellem fokus og directrix:

#k = (y_ "fokus" + y_ "directrix") / 2 #

# k = (-5 + 6) / 2 #

# k = -1 / 2 #

Erstatte dette i ligning 2:

#y = a (x-2) ^ 2-1 / 2 "3" #

Lad f = den lodrette afstand fra toppunktet til fokus.

#f = -5 - (- 1/2) #

#f = -9 / 2 #

Vi kan bruge dette til at finde værdien for "a":

#a = 1 / (4 (f)) #

#a = 1 / (4 (-9/2) #

#a = -1 / 18 #

Erstatte dette i ligning 3:

#y = -1/18 (x-2) ^ 2-1 / 2 #

Udvid firkanten:

#y = -1/18 (x ^ 2-4x + 4) -1/2 #

Brug den fordelende ejendom:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x + 2 / 9-1 / 2 #

Kombiner de konstante termer:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # Dette er standardformular.