Svar:
Det er netop en af rødderne af #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # hvor #T_n (x) # er # N #th Chebyshev Polynomial of the first kind. Det er en af de fireogtredive rødder af:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Forklaring:
# 58 ^ circ # er ikke et flertal af # 3 ^ circ #. Flere af # 1 ^ circ # der er ikke multipler af # 3 ^ circ # er ikke konstruerbare med en straightedge og kompass, og deres trig-funktioner er ikke resultatet af nogle sammensætninger af heltal ved hjælp af addition, subtraktion, multiplikation, division og firkantet rødning.
Det betyder ikke, at vi ikke kan skrive ned noget udtryk for #cos 58 ^ circ #. Lad os tage graden tegn til at betyde en faktor # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ cirk #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ cirk - i sin 58 ^ cirk #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ cirk} = 2 cos 58 ^ cirk #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Ikke så nyttigt.
Vi kan forsøge at skrive ned en polynomækvation, en af hvis rødder er #cos 58 ^ circ # men det vil nok være for stort til at passe.
# Theta = 2 ^ Circ # er #180#af en cirkel. Siden #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # det betyder #cos 2 ^ circ # tilfredsstiller
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Lad os løse dette for # Theta # først. #cos x = cos a # har rødder # x = pm a + 360 ^ circ k, # heltal # K #.
# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k eller theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Det er mange rødder, og vi ser # Theta = 58 ^ Circ # blandt dem.
Polynomierne #T_n (x) #, kaldet Chebyshev Polynomier af den første slags, tilfredsstiller #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. De har heltalskoefficienter. Vi kender de første få fra formlerne med dobbelt og tredobbelt vinkel:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # så# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # så# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # så # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # så # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Der er et godt rekursionsforhold, vi kan kontrollere:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Så i teorien kan vi generere disse til så store # N # som vi er interesserede i.
Hvis vi lader # x = cos theta, # vores ligning
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
bliver til
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha er glad for at fortælle os, hvad de er. Jeg skriver ligningen bare for at teste matematikgengivelsen:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Ja, dette svar bliver lang, takk Socratic. Anway, en af rødderne af det 46. grads polynom med heltalskoefficienter er # cos 58 ^ cirk #.
