Kraften anbragt mod et objekt, som bevæger sig horisontalt på en lineær bane, beskrives af F (x) = x ^ 2-3x + 3. Ved hvor meget ændrer objektets kinetiske energi som objektet bevæger sig fra x i [0, 1]?

Svar:

Newtons anden lov om bevægelse:

# F = m * en #

Definitioner af acceleration og hastighed:

# A = (du) / dt #

# U = (dx) / dt #

Kinetisk energi:

# K = m * u ^ 2/2 #

Svar er:

# Ak = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Newtons anden lov om bevægelse:

# F = m * en #

# X ^ 2-3x + 3 = m * en #

substituere # A = (du) / dt # Hjælper ikke med ligningen, siden # F # er ikke givet som en funktion af # T # men som en funktion af #x# Imidlertid:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Men # (Dx) / dt = u # så:

# A = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Ved at erstatte den ligning, vi har, har vi en differentialekvation:

# x ^ 2-3 gange + 3 = m * u (du) / dx #

# (X ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

De to hastigheder er ukendte, men positionerne #x# er kendt. Massen er også konstant:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# X ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11 / R6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Men # K = m * u ^ 2/2 #

# 11 / R6 = K_2-K_1 #

# Ak = 11/6 # # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Bemærk: enhederne er # Kg * m ^ 2 / s ^ 2 # kun hvis afstande angivet # (x i 0,1) # er i meter.