En akkord med en længde på 12 kører fra pi / 12 til pi / 6 radianer på en cirkel. Hvad er cirkelområdet?

Svar:

Området af en cirkel er

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Forklaring:

Billedet ovenfor afspejler betingelserne i problemet. Alle vinkler (forstørret til bedre forståelse) er i radianer, der tæller fra den vandrette X-akse #OKSE# mod uret.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Vi skal finde en radius af en cirkel for at bestemme dens område.

Vi kender det akkord # AB # har længde #12# og en vinkel mellem radiuserne # OA # og # OB # (hvor # O # er et center i en cirkel) er

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Konstruer en højde # OH # af en trekant # Del AOB # fra vertex # O # til side # AB #. Siden # Del AOB # er ensomme, # OH # er en median og en vinkel bisector:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Overvej en rigtig trekant # Del AOH #.

Vi kender det kateter # AH = 6 # og vinkel # / _ AOH = pi / 24 #.

Derfor hypotenuse # OA #, som er en radius af vores cirkel # R #, svarer til

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Kende radius, vi kan finde et område:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Lad os udtrykke dette uden trigonometriske funktioner.

Siden

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

vi kan udtrykke området som følger:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

En anden trigonometrisk identitet:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Derfor,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Nu kan vi repræsentere området for en cirkel som

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Svar:

En anden tilgang samme resultat

Forklaring:

Akkord AB af længde 12 i ovenstående figur løber fra# Pi / 12 # til # Pi / 6 # i cirkel af radius r og center O, taget som oprindelse.

# / _ AOX = pi / 12 # og # / _ BOX = pi / 6 #

Så polar koordinat af A # = (R, pi / 12) # og B's # = (R, pi / 6) #

Anvendelse af afstandsformel for polarkoordinat

længden af akkordet AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Så område af cirklen

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #