T_n (x) er Chebyshev-polynomet af grad n. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Hvordan kan du bevise at 18-sd-værdien af denne FCF for n = 2, x = 1.25 er # 6.00560689395441650?

Svar:

Se forklaringen og de super-socratiske grafer for denne komplicerede FCF

Forklaring:

y er en hyperbolsk cosinus værdi, og så #abs y> = 1 # og FCF

grafen er symmetrisk med hensyn til y-akse.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

FCF er genereret af

# Y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

En diskret analog til at approximere y er den ikke-lineære forskel

ligning

# Y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Her er x = 1,25.

Gør 37 iterationer med starter # y_0 = cosh (1) = 1,54308.. #, lang præcision 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6,00560689395441650 #

med # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, for denne præcision.

graf {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1.25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-0.001) = 0 -22010}

Graf for 6-sd i y (1,25) = 6,00561:

graf {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Jeg forventer applikationer af denne type FCF, i computer

tilnærmelser.

Vær opmærksom på, at på trods af at det er en jævn funktion i midten, graf er fraværende, og dette er diskontinuitet.